Exercices corrigés -Couple de variables aléatoires (2024)

Soit $(\Omega,P)$ un espace probabilisé fini et soit $X:\Omega\to E$ et $Y:\Omega\to F$ deux variables aléatoires. Démontrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :

1. $(X,Y)\sim \mathcal U(E\times F)$;
2. $X\sim \mathcal U(E)$, $Y\sim\mathcal U(F)$ et $X$ et $Y$ sont indépendantes.

On dispose de $n$ boites numérotées de $1$ à $n$. La boite $k$ contient $k$ boules numérotées de $1$ à $k$. On choisit au hasard de façon équiprobable une boite, puis une boule dans cette boite. On note $X$ le numéro de la boite et $Y$ le numéro de la boule.

1. Déterminer la loi conjointe du couple $(X,Y)$.
2. En déduire la loi de $Y$.
3. Calculer l'espérance de $Y$.

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires suivant une loi uniforme sur $\{0,\dots,n\}^2$.

1. Déterminer la loi de $X$, la loi de $Y$, la loi de $X+Y$.
2. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?

On considère un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{B},P)$ et deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur $\Omega$ et à valeurs dans $\{1,\dots,n+1\}$, où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On pose, pour tout couple $(i,j)\in\{1,\dots,n+1\}^2$$$a_{i,j}=P(X=i,Y=j).$$On suppose que :$$a_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2n}&\textrm{si }|i+j-(n+2)|=1\\0&\textrm{sinon}.\end{array}\right.$$

1. Vérifier que la famille $(a_{i,j})$ ainsi définie est bien une loi de probabilité de couple.
2. Ecrire la matrice $A\in\mathcal{M}_{n+1}(\mtr)$ dont le terme général est $a_{i,j}$. Vérifier que $A$ est diagonalisable.
3. Déterminer les lois de probabilité de $X$ et $Y$.
4. Pour tout couple $(i,j)\in\{1,\dots,n+1\}^2$, on pose :$$b_{i,j}=P(X=i|Y=j).$$Déterminer la matrice $B\in\mathcal{M}_{n+1}(\mtr)$ dont le terme général est $b_{i,j}$. Montrer que le vecteur $$v=\left(\begin{array}{c}P(X=1)\\\vdots\\P(X=n+1)\end{array}\right)$$est vecteur propre de $B$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mtn^*$, telles que :$$P\big((X=i)\cap(Y=j)\big)=\frac{a}{2^{i+j}},$$pour tous $i,j$ de $\mtn^*$.

1. Calculer $a$.
2. Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$.
3. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$. On pose $Z=\min(X,Y)$ et $q=1-p$. Soit en outre $n$ un entier strictement positif.

1. Calculer $P(X\geq n)$.
2. Calculer $P(Z\geq n)$. En déduire $P(Z=n)$. Quelle est la loi de $Z$?
3. Les variables $X$ et $Z$ sont-elles indépendantes?

Dans un bureau de poste, il y a deux guichets. Chacune des personnes arrivant à la poste choisit le premier guichet avec une probabilité $p$, ou le deuxième guichet avec une probabilité $q=1-p$. Les personnes effectuent leur choix de façon indépendante. En une heure, le nombre $X$ de personnes arrivés à la poste suit une loi de Poisson $\mathcal{P}(m)$.On désigne par $Y$ le nombre de personnes ayant choisi le premier guichet.

1. Exprimer la probabilité conditionnelle de $Y=k$ sachant que $X=n$.
2. En déduire la loi conjointe du couple $(X,Y)$.
3. Déterminer la loi de $Y$. On trouvera que $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $mp$.

On suppose que le nombre $N$ d'enfants dans une famille suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. On suppose qu'à chaque naissance, la probabilité que l'enfant soit une fille est $p\in ]0,1[$ et celle que ce soit un garçon est $q=1-p$. On suppose aussi que les sexes des naissances successives sont indépendants. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de filles par familles, et $Y$ celle du nombre de garçons.

1. Déterminer la loi conjointe du couple $(N,X)$.
2. En déduire la loi de $X$ et celle de $Y$.

Théo fait du tir à l'arc sur une cible circulaire de rayon 1. On suppose que Théo est suffisamment maladroitpour que le point d'impact M de coordonnées $(X,Y)$ soit uniformément distribué sur la cible.On note $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x^2+y^2\leq 1\}$.

1. Quelle est la densité du couple $(X,Y)$?
2. Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$.
3. Les variables aléatoires $X$et $Y$ sont-elles indépendanes?

Soit $T$ l'intérieur d'un triangle du plan délimité par les points $O(0,0)$, $I(1,0)$ et $J(0,1)$ et soit $(X,Y)$ un couplede variables aléatoires de loi uniforme sur le triangle $T$.

1. Donner la densité du couple $(X,Y)$.
2. Calculer les lois marginales de $X$ et de $Y$.
3. Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
4. Calculer la covariance du couple $(X,Y)$. Qu'en pensez-vous?

On dit que la variable aléatoire $X$ suit une loi de Pareto de paramètre $\alpha>0$ si,$$\forall x\geq 1,\ P(X>x)=x^{-\alpha}.$$

1. Démontrer que cette propriété caractérise effectivement la loi de $X$.Montrer que $X$ suit une loi à densité, et préciser cette densité.
2. Pour quelles valeurs de $\alpha$ la variable $X$ est-elle d'espérance finie?
3. Soient $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Pareto de paramètre $\alpha$. On note $dP_Y$ la loi de $Y$. Montrer que, si $t\geq 1$, alors$$P(XY>t)=\int_1^{+\infty}P\left(X>\frac ty\right)dP_Y(y).$$
4. En déduire que, pour tout $t\geq 1$, $P(XY>t)=t^{-\alpha}(1+\alpha\ln t).$

Un étudiant s’ennuie durant son cours de probabilités et passe son temps à regarderpar la fenêtre les feuilles tomber d’un arbre. On admet que le nombre de feuilles tombées à lafin du cours est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. Celasignifie que pour tout $k\in\mathbb N$, $$P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.$$

1. 1. Expliquer pourquoi les hypothèses de l'énoncé permettent de dire que pour tout$\lambda>0$, $$e^{\lambda}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^k}{k!}.$$
   2. \emph{Calculer} l’espérance et la variance de X.
2. A chaque fois qu’une feuille tombe par terre, l’étudiant lance une pièce qui donne pile avec uneprobabilité $p$ et face avec probabilité $q = 1-p$, $p\in]0, 1[$. On note $F$ et $P$ le nombre defaces et de piles obtenus respectivement.
   1. Pour $k\in\mathbb N$ fixé, expliquer de manière simple pourquoi la loi de $F$ sachant $X = k$est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. En déduire l’expression de$P(F = a|X = k)$.
   2. Pour $(k, a)\in\mathbb N$, calculer la quantité $P(X = k, F = a)$.
   3. En déduire la loi de $F$, ainsi que son espérance.
   4. Donner, sans calculs, la loi de $P$.
3. Montrer que $P$ et $F$ sont indépendantes.
4. Calculer $E[P F]$ et $Var[P + F]$.